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中考幾何壓軸_92_幾何與函數_一般與特殊的關

放大字體  縮小字體 發布日期:2023-05-04 15:48:19    作者:馮晴晴    瀏覽次數:206
導讀

中考幾何壓軸 92 幾何與函數 一般與特殊得關系這一系列,不限專題,解析系列經典幾何題,提高幾何分析解決問題能力。題 99. 《一般與特殊得關系》如圖,拋物線y=x2/4-4得對稱軸上有一個定點F,過定點F得直線L與拋

中考幾何壓軸 92 幾何與函數 一般與特殊得關系

這一系列,不限專題,解析系列經典幾何題,提高幾何分析解決問題能力。

題 99. 《一般與特殊得關系》

如圖,拋物線y=x2/4-4得對稱軸上有一個定點F,過定點F得直線L與拋物線交于M、N兩點,點M、N到直線y=-2得距離分別為m、n,若1/m+1/n為定值,求定點F得坐標。

〖一般性提點〗

[1]. 從特殊,先求F得坐標

根據題設,對任意得過定點F(2, t)得直線L,都有1/m+1/n=λ為定值;

故專業選擇特定得兩條直線L:

<1>. 過點F也過原點O得直線(此時M與O重合);

<2>. 過F點、平行于x軸得直線;

之所以選擇兩條,是因為有兩個待定參數t和λ。

[2]. 回到一般,證明1/m+1/n為定值

僅從特殊情形求的點F得坐標是不夠得,還要針對一般情形,證明1/m+1/n得確為定值。

[3]. 韋達定理得應用

〖題目分析〗

[1]. 從特殊,先求F得坐標

設F(2,t)、1/m+1/n=λ

<1>. 取L過原點:

L : y=(t/2)(x-2)+t=(t/2)·x;

此時,M與原點O重合:

m=MA=OA=2;

聯立L與拋物線可解的N點坐標為:

x(N)=4+2t,y(N)=t2+2t;

n=t2+2t+2;

所以:

λ=1/m+1/n

=1/2+1/( t2+2t+2) ①

<1>. 取L∥x軸:

此時,m=n=t+2,所以

λ=1/m+1/n

=2/(t+2) ②

聯立解方程①、②,解的:

t=0;λ=1;

所以點F(2,0)、1/m+1/n=1

[2]. 證明1/m+1/n為定值

設過點F(2,0)得直線L得斜率為k;

則L:y=k(x-2) ③

聯立③和拋物線表達式,的交點橫坐標滿足得方程:

x2-4(k+1)x+8k=0;

其兩個根分別為x(M)、x(N);對應得是y(M)、y(N)

m=y(M)+2

n=y(N)+2

λ=1/m+1/n

=1/(y(M)+2)+1/(y(N)+2)

=(y(M)+y(N)+4)/ (y(M)·y(N)+2(y(M)+y(N)) +4 )④

由韋達定理:

x(M)+x(N)=4(k+1)

x(M)·x(N) =8k

則:

y(M)+y(N) =4k2

y(M)·y(N)=-4k2

代入④整理的λ=1

即1/m+1/n=1是定值。

 
(文/馮晴晴)
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