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再談數學概念——數學的定義為什么這么重要

放大字體  縮小字體 發布日期:2021-08-22 03:21:58    作者:宮志強    瀏覽次數:39
導讀

本文作者:劉瑞祥,[遇見] 這里感謝劉老師投稿支持!以前我曾經談過概念,這篇文章再談一談和概念直接有關系的定義。定義為什么重要?我不想抽象地談論定義,只想從對大家最有直接幫助的地方談起。就我個人的認識來


本文作者:劉瑞祥,[遇見] 這里感謝劉老師投稿支持!

以前我曾經談過概念,這篇文章再談一談和概念直接有關系的定義。

定義為什么重要?我不想抽象地談論定義,只想從對大家最有直接幫助的地方談起。就我個人的認識來說,定義既是概念的必要條件,也是概念的充分條件,或者說,既可以當做“性質定理”,也可以當做“判定定理”。

比如初中幾何中的“平行四邊形”定義就是一例。你要判斷一個四邊形是不是平行四邊形,那就要看這個四邊形是不是對邊分別平行,或者看是否滿足其她判定定理,而其她判定定理歸根到底是因為可以轉化成定義要求的條件。而你一旦遇到平行四邊形,不管是條件里已經給出的,還是前面你證明了的,立刻可以應用全部平行四邊形的性質定理繼續推理。可以說,定義本身就給我們提供了豐富的解題依據。更重要的是,有時我們沒有別的依據,只能靠定義來解題。我想,凡是曾經證明過數列和函數極限的人都深有體會吧。為了讓沒有接觸過極限的人也理解這一點,我舉一個和極限概念無關的例子:作三角形的外接圓。顯然這里只需要作任意兩邊的垂直平分線并求交點就可以了。而這個作圖法之所以成立,也正是因為所求的交點到三角形的三個頂點距離相等,符合圓的定義。類似的,要想證明若干點共圓,一個容易想到的方法就是證明這些點到另外一個定點的距離相等。

從以上的簡單例子可以看出,只有對做題有幫助的定義才是好定義。初學數學的人,往往容易把關于對象的直觀描述當成定義。但直觀描述不但是不可靠的,也是對做題沒有幫助的。大家可以翻一下自己的數學書,看看哪些話語會在解題時用到,就能對這里說的有所體會。或者大家也可以設想一下,假設你要教給完全沒有生活經驗的電腦一個概念,那你應該是教她嚴格的數學定義還是直觀描述呢?

越是到高層次的數學,定義的作用越大,以至于有人說,數學最重要的不是技巧,而是概念(顯然這是包括其定義在內的)。除了以上我們曾經提到的極限定義以外,在高層次的數學當中,我們還會遇到各種各樣的所謂“空間”,而要判斷空間所屬哪一類,就必然要用到這些空間的定義,逐條加以分析,進一步我們可以根據她所屬的空間類別,來推斷她的性質——這一類空間就有這一空間的性質,那一類空間就有那一類空間的性質。這樣就可以把很多貌似不同的東西放在一起分析,得到同一類結論。

但還是有很多人覺得概念難以理解,我的看法是,要理解概念,不妨就找點實際例子。這里的例子既包括我們早就熟悉的,也可以包括一些不熟悉的,還可以包括一些不滿足定義的例子。這樣從各個方面來理解定義,就容易多了。比如很多人對矩陣的特征向量、特征值有困惑,那你不妨隨便寫個簡單的矩陣,然后手動求一下特征向量和特征值,再和原來的矩陣作一下乘法,看看乘得的結果是什么。這里可以用具體的數字來算,不要總在字母里打轉轉。在這之后,還可以再隨便假設特征值是一個什么別的數,看看能不能得到特征向量(肯定是不能)。我相信,這一通操作下來,你會對定義有更進一步的理解。

 
(文/宮志強)
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