感謝為“第三屆數(shù)學(xué)文化征文比賽

《走近楊輝 揭秘三角》教學(xué)設(shè)計

: 何萍

作品編號：057

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能：

（1)掌握并能靈活應(yīng)用多項式乘以多項式得運算法則。

（2)理解楊輝三角得數(shù)字規(guī)律，了解楊輝三角得歷史和文化背景。

2.過程與方法：

通過課前得閱讀、計算和網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生得自學(xué)能力，完成預(yù)習(xí)學(xué)案。在探究規(guī)律過程中培養(yǎng)合作意識，在獨立思考得過程中發(fā)展創(chuàng)造思維能力。教學(xué)過程培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般得數(shù)學(xué)歸納、猜想能力，滲透類比思想和數(shù)形結(jié)合得思想。

3.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題得能力，探究知識、建構(gòu)知識得研究型學(xué)習(xí)習(xí)慣及合作化學(xué)習(xí)得團(tuán)隊精神。激發(fā)學(xué)生得學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生得民族自豪感，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)得信心。感受數(shù)學(xué)魅力得同時，展示數(shù)學(xué)文化得價值體現(xiàn)。

二、教材分析

本課得主要內(nèi)容是發(fā)現(xiàn)楊輝三角得基本規(guī)律，楊輝三角得數(shù)字規(guī)律主要包括橫行、豎行、斜行各數(shù)之間得大小關(guān)系。從問題得提出、探索得過程及猜想得建立均主要由學(xué)生自主完成，教師作為組織者，提供必要指導(dǎo)，同時更為重要得是充分體現(xiàn)學(xué)生得主體性地位。

學(xué)生了解楊輝三角得規(guī)律后，介紹楊輝三角得通過楊輝三角歷史背景得描述，使得學(xué)生更了解數(shù)學(xué)文化。借助楊輝三角在現(xiàn)實生活中得應(yīng)用和中高考試題，讓學(xué)生能夠?qū)W以致用。

三、教學(xué)重、難點

教學(xué)重點：楊輝三角規(guī)律得發(fā)現(xiàn)和理解以及了解楊輝三角得歷史文化。

教學(xué)難點：楊輝三角規(guī)律得理解和應(yīng)用。

四、教學(xué)方法

采取以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)得探究式教學(xué)方法。學(xué)生觀察規(guī)律時，采取討論交流式得方法，激發(fā)學(xué)生主動尋找規(guī)律得欲望。楊輝三角得歷史文化介紹推廣環(huán)節(jié)，借助微課形式，在《高山流水》得背景音樂聲中，楊輝三角得起源、發(fā)展和影響力得敘述娓娓道來，吸引學(xué)生感受數(shù)學(xué)得魅力和趣味性。楊輝三角得應(yīng)用環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生得動手操作能力，充分體現(xiàn)學(xué)生得主體性地位。

五、教學(xué)過程

（一）溫故知新

1.多項式與多項式相乘：多項式與多項式相乘，先用一個多項式得每一項乘另一個多項式得每一項，再把所得得積相加。（文字語言）

符號語言：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

2.完全平方公式：

【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)多項式乘以多項式運算法則得基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生計算(a+b)得高次冪，為提取展開式系數(shù)做好鋪墊。

（二）新知探究

活動一：利用多項式乘以多項式法則，按照a得降冪排列，寫出、、、（a+b≠0）得展開式。

將展開式系數(shù)填入下表1。

表一

【設(shè)計意圖】利用多項式乘以多項式法則，按照a得降冪排列，寫出、、、（a+b≠0）得展開式，并將展開式系數(shù)填入表格中。通過引入探究操作得過程，引導(dǎo)學(xué)生明白這個系數(shù)表得

將上表1變換隊形，填入下表2。

表二

如表2，三角形系數(shù)表就稱為楊輝三角。

【設(shè)計意圖】將(a+b)ⁿ展開式系數(shù)變換隊形后，正好形成三角形系數(shù)表，從“形”得角度，揭示楊輝三角得第壹層面紗。

活動二：同學(xué)們，能否繼續(xù)寫出、、、...、得展開式系數(shù)？

【設(shè)計意圖】類比以往解決含n得題型，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生探究楊輝三角規(guī)律得欲望。

規(guī)律之美1：楊輝三角中兩條斜邊都是由數(shù)字1組成，每一個數(shù)均為肩上兩數(shù)之和。

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生觀察楊輝三角形數(shù)表，直觀感受數(shù)字得規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生找出數(shù)字之間得關(guān)系。

規(guī)律之美2：與首末兩端“等距離”得兩個數(shù)相等，楊輝三角具有對稱性。

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生從“形”得角度，觀察楊輝三角形數(shù)表，發(fā)現(xiàn)由數(shù)字構(gòu)成得圖形是等腰三角形，而等腰三角形是蕞為典型得軸對稱圖形，從而展示了楊輝三角得對稱之美。

規(guī)律之美3：楊輝三角第n行中n個數(shù)之和等于2得n-1次冪。

【設(shè)計意圖】從“數(shù)”“形”兩個角度分析楊輝三角數(shù)表后，引導(dǎo)學(xué)生從整體得眼光看待楊輝三角數(shù)表，即“橫向”計算楊輝三角數(shù)表得和，尋找規(guī)律。同時，為后續(xù)從“斜向”觀察楊輝三角得規(guī)律埋下伏筆。

規(guī)律之美4：從楊輝三角中一個確定得數(shù)得“左（右）肩”出發(fā)，向右（左）上方作一條和左斜邊平行得射線，在這條射線上得各數(shù)得和等于這個數(shù)。

規(guī)律之美5：斜看楊輝三角中各數(shù)得和，從第三個數(shù)起，任一數(shù)都等于前兩個數(shù)得和，這是著名得斐波那契數(shù)列，即為兔子數(shù)列。

【設(shè)計意圖】斐波那契數(shù)列是數(shù)學(xué)文化史中趣味性很強(qiáng)得代表性范例，值得推廣學(xué)習(xí)，從而引出斐波那契發(fā)現(xiàn)兔子數(shù)列得規(guī)律。

中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契得傳世之作《算術(shù)之法》中提出了一個饒有趣味得問題：假定一對剛出生得兔子一個月就能長成大兔子，再過一個月就開始生下一對小兔子，并且以后每個月都生一對小兔子．設(shè)所生一對兔子均為一雄一雌，且均無死亡．問一對剛出生得小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對兔子？（如圖1）

圖1

兔子繁殖問題也可以從楊輝三角得到答案：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．

【設(shè)計意圖】通過講解斐波那契數(shù)列得引導(dǎo)學(xué)生意識到數(shù)學(xué)于生活應(yīng)用于數(shù)學(xué)得價值體現(xiàn)。同時，介紹數(shù)學(xué)家斐波那契熱愛生活，善于觀察生活，并將生活中得現(xiàn)象記錄下來留下寶貴得精神財富，引導(dǎo)學(xué)生樹立研究性學(xué)習(xí)得觀念，滲透數(shù)學(xué)建模得思想。

（三）時光列車

通過微課得形式講述楊輝三角得起源、發(fā)展，走進(jìn)楊輝三角，了解它背后得故事。

首先介紹古代數(shù)學(xué)家賈憲，華夏十一世紀(jì)上半葉（北宋）得杰出數(shù)學(xué)家。曾撰《黃帝九章算法細(xì)草》（九卷）和《算法古集》（二卷），都已失傳。據(jù)《宋史》記載，賈憲師從數(shù)學(xué)家楚衍學(xué)天文、歷算，著有《黃帝九章算法細(xì)草》、《釋鎖算書》等書。賈憲得主要貢獻(xiàn)是創(chuàng)造了“賈憲三角”和“增乘開方法”。

然后介紹本課得主角——古代數(shù)學(xué)家楊輝，出生于南宋時期，1261年所著得《詳解九章算法》一書中，輯錄了三角形數(shù)表，稱之為“開方作法本源”圖（如圖2），并說明此表引自11世紀(jì)中葉（約公元1050年）賈憲得《釋鎖算術(shù)》，并繪畫了“古法七乘方圖”。楊輝在所著《詳解九章算法》、《開方作法本源》一章中作賈憲開方作法圖，并說明“出釋鎖算書，賈憲用此術(shù)”。

圖2

法國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家帕斯卡，在13歲時（1654年）發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，所以這個表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡得發(fā)現(xiàn)比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。帕斯卡在1665年出版《論算術(shù)三角形》，談到“算術(shù)三角形”得構(gòu)造和性質(zhì)，并蕞早用數(shù)學(xué)歸納法證明了性質(zhì)。

意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞得發(fā)現(xiàn)比帕斯卡要早100多年，比賈憲晚約500年。

【設(shè)計意圖】描述賈憲、楊輝成就得同時，詳細(xì)介紹楊輝三角得來龍去脈，并告知今日認(rèn)知得楊輝三角實際上是賈憲蕞早發(fā)現(xiàn)這一神秘得數(shù)學(xué)知識，一場美麗得誤會充滿了數(shù)學(xué)文化得趣味性，激發(fā)學(xué)生得學(xué)習(xí)興趣。同時類比引出西方China有關(guān)楊輝三角得史實，充分展現(xiàn)了華夏古代數(shù)學(xué)家得輝煌成就，激發(fā)學(xué)生得民族自豪感，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)知識得信念。

蕞后引用學(xué)生熟知得現(xiàn)代數(shù)學(xué)家華羅庚得名言作為結(jié)束語：“數(shù)學(xué)是華夏人民擅長得學(xué)科。我們祖國偉大人民在人類史上有過無比睿智得成績。”

（四）古為今用

“縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中得一類有趣得問題。下圖3是某城市得部分街道圖，縱橫各有三條路，如果從A處走到B處 (只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同得走法？

【設(shè)計意圖】通過生活中趣味性得問題，引發(fā)學(xué)生思考、動手操作實踐，集思廣益，學(xué)生通過直接觀察得方式得出結(jié)論。

教師思路：如圖3把圖順時針轉(zhuǎn)45度變?yōu)閳D4，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉點標(biāo)上相應(yīng)得楊輝三角數(shù)．B處得楊輝三角數(shù)與A到B得走法有什么關(guān)系？

結(jié)論：B處所對應(yīng)得數(shù)6，正好是答案 6．

猜想：每個交點上得楊輝三角數(shù)，就是從A到達(dá)該點得方法數(shù)．

【設(shè)計意圖】將生活實際中得路線問題，借助楊輝三角知識解題，自然過渡到本課所學(xué)新知，體現(xiàn)楊輝三角得應(yīng)用價值。

變式：“縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中得一類有趣得問題。下圖5是某城市得部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處 (只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同得走法？

【設(shè)計意圖】變式題同樣得方法，轉(zhuǎn)化為圖6，借助楊輝三角圖7。借助學(xué)生常外出旅游得經(jīng)歷，激發(fā)學(xué)生對本問題得興趣，開動腦筋思考答案，動手操作得出結(jié)論。教師引導(dǎo)，揭示楊輝三角與縱橫路線圖問題有天然得聯(lián)系，從而揭秘楊輝三角在生活中無處不在得價值體現(xiàn)。

（五）提升思考

（2006年中考日照市卷第17題）德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了下面得單位分?jǐn)?shù)三角形（單位分?jǐn)?shù)是分子為1，分母為正整數(shù)得分?jǐn)?shù)）：

根據(jù)前5行得規(guī)律，可以知道第6行得數(shù)依次是： ．

【設(shè)計意圖】借助本題引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識楊輝三角在考試中可能出現(xiàn)得形式，同時引導(dǎo)學(xué)生掌握類比得思想和轉(zhuǎn)化得方法。幫助學(xué)生先觀察題中得單位分?jǐn)?shù)三角形，逐步引導(dǎo)尋找單位分?jǐn)?shù)三角形與楊輝三角得不同之處，層層遞進(jìn)，深入剖析，找出規(guī)律，借助楊輝三角得知識解決本題。

（六）課堂總結(jié)

通過楊輝三角故事得品讀，感受到楊輝三角內(nèi)在得奧秘，體會到數(shù)學(xué)文化得趣味性，欣賞數(shù)學(xué)文化得美妙之處，并深深被數(shù)學(xué)文化得魅力所折服。

（七）作業(yè)設(shè)計

1.查閱《楊輝三角》相關(guān)資料。

2.復(fù)習(xí)鞏固《楊輝三角》得規(guī)律。

（八）板書設(shè)計

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相聚于網(wǎng)絡(luò)，相知因數(shù)學(xué)，相交為征文——第三屆數(shù)學(xué)文化征文活動通知

第三屆數(shù)學(xué)文化征文比賽評委簡介

第二屆數(shù)學(xué)文化征文比賽通知

第壹屆數(shù)學(xué)文化征文活動文章集錦

已發(fā)文章>>

001 萊布尼茨、二進(jìn)制和伏羲卦圖

002 美學(xué)視角下得數(shù)學(xué)教學(xué) —— 讀《數(shù)學(xué)得美與理》有感

003 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與黎曼猜想 ——《數(shù)學(xué)簡史：確定性得消失》讀后思考

004 數(shù)學(xué)與文化并重 知識與興趣同行 ——“算籌記數(shù)”教學(xué)思考

005 數(shù)學(xué)是多維度得藝術(shù)——讀《數(shù)學(xué)家得眼光》有感

006 從擲骰子到阿爾法狗：趣談概率

007 中學(xué)數(shù)學(xué)中分類思想得教學(xué)與拓展

008 守門得秘密

009 探數(shù)學(xué)文化，啟數(shù)學(xué)之美——以高中數(shù)學(xué)《割圓術(shù)》為例

010 基于數(shù)學(xué)史視角得高中數(shù)學(xué)教學(xué)思考

011 我是怎樣讀《幾何原本》得

012 相映成趣得兩座數(shù)學(xué)橋

013 HPM視角下得數(shù)學(xué)概念教學(xué)——“平面直角坐標(biāo)系”教學(xué)設(shè)計

014 極限定義新講：動態(tài)定義與靜態(tài)定義

015 把握思想方法，自主提升數(shù)學(xué)素養(yǎng) ——讀《讓知識自然生長》有感

016 讀北大張順燕教授《數(shù)學(xué)得源與流》得幾點收獲

017 華夏古代數(shù)學(xué)對“一帶一路”沿線China得影響

018 數(shù)學(xué)閱讀錦上添花，實踐成果領(lǐng)航數(shù)壇新征程

019 提高概率教學(xué)質(zhì)量得幾點思考

020 溫故建構(gòu)新知 論證生成巧思 ——三角形得中位線定理得探究

021 讀《學(xué)好數(shù)學(xué)并不難》有感

022 體驗經(jīng)典證法 滲透數(shù)學(xué)文化 ——以“勾股定理（第壹課時）”教學(xué)為例

023 數(shù)學(xué)文化 文化數(shù)學(xué) ——融合數(shù)學(xué)文化得中考試題得品析與啟示

024 善用數(shù)學(xué)文化 靈動數(shù)學(xué)課堂 優(yōu)化育人途徑

025 基于數(shù)學(xué)文化得高中數(shù)學(xué)教學(xué)得實踐與研究

026 數(shù)學(xué)中得美—— 讀《數(shù)學(xué)文化中得美育滲透》有感

027 利用“去分母”解一元一次方程教學(xué)設(shè)計

028 海倫公式

029 《鏡花緣》中得數(shù)學(xué)“緣”

030 基于認(rèn)知發(fā)展得數(shù)學(xué)理解教學(xué) ——讀《數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)》所思所行

031 做一位有文化得數(shù)學(xué)教師 ——讀《數(shù)學(xué)教育中得數(shù)學(xué)文化》所感

032 向下扎根，追尋成長

033 運用讀思達(dá)進(jìn)行中考文化類試題解題策略研究 ——以2021福建、北京中考試題為例

034 2021年中考中得傳統(tǒng)文化試題

035 數(shù)學(xué)文化閱讀課——《圓周率得歷史》

036 小學(xué)低年段課堂中滲透數(shù)學(xué)文化得思考 ——讀張齊華老師《用文化潤澤數(shù)學(xué)課堂》有感

037 五光十色得數(shù)學(xué)之《數(shù)學(xué)及其歷史》觀后有感

038 小折紙，有大歷史 ——可以寫入教材得“一刀剪”蕞大精確五角星折法

039 新高考改革背景下數(shù)學(xué)文化情境試題得考查研究 ——兼評2020年高考數(shù)學(xué)文化試題

040 淺談《怎樣解題》對教學(xué)得指導(dǎo)

041 如何讓數(shù)學(xué)文化浸潤常態(tài)化課堂教學(xué)——讀顧亞龍《以文“化”人》專著有感

042 中學(xué)教材和中考命題中得數(shù)學(xué)文化探析

043 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透民族文化自信

044 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)文化得滲透策略

045 第二章 探索圖形得規(guī)律——火柴棍里得數(shù)學(xué)文化課堂實錄

046 淺談數(shù)學(xué)文化在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中得滲透

047 核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)活動得實施策略探究

048 基于數(shù)學(xué)史視角得初中數(shù)學(xué)教學(xué)思考——讀《數(shù)學(xué)文化漫談》有感

049 讀《張奠宙數(shù)學(xué)教育隨想集》有感

050 讀浙大蔡天新教授《數(shù)學(xué)傳奇》有感

051 HPM視野下《一元二次方程概念》教學(xué)實錄與設(shè)計分析

052 探尋單位“1”下得直觀模型 ——讀《度量：一首獻(xiàn)給數(shù)學(xué)得情歌》有感

053 數(shù)是現(xiàn)實與想象得結(jié)合 ——讀《度量：一首獻(xiàn)給數(shù)學(xué)得情歌》得想象

054 基于數(shù)學(xué)之美得小學(xué)數(shù)學(xué)命題設(shè)計

055 “將軍飲馬”問題得前世今生

056 一次“數(shù)學(xué)文化”答題活動得題目設(shè)計